Искусство прогнозирования: как использовать Монте-Карло и геометрическое броуновское движение

Катрина Авила Муничелло — опытный редактор, писатель, фактчёкер и корректор с более чем четырнадцатилетним стажем работы в печатных и онлайн-изданиях.

Одним из самых надежных методов оценки рисков является симуляция Монте-Карло (СМК). К примеру, чтобы определить Value at Risk (VaR) портфеля, можно провести множество случайных испытаний, моделирующих наихудшие возможные убытки с заданным уровнем доверия и на определённом временном интервале. Важно всегда устанавливать два параметра для VaR — уровень доверия и временной горизонт.

В этой статье мы рассмотрим базовое применение СМК для моделирования цены акции с помощью одной из самых распространённых моделей в финансах — геометрического броуновского движения (ГБД). Хотя термин «симуляция Монте-Карло» охватывает широкий спектр методов, мы начнем с наиболее простой и понятной модели.

С чего начать

Симуляция Монте-Карло — это многократное моделирование будущих событий с использованием случайных величин. В результате мы получаем распределение возможных исходов, которое можно анализировать. Основные этапы следующие:

1. Выбор модели (например, ГБД)

В данном случае мы используем геометрическое броуновское движение, которое представляет собой марковский процесс. Это означает, что цена акции движется случайным образом, и каждое следующее изменение зависит только от текущего состояния, что соответствует слабой форме гипотезы эффективного рынка — вся информация о прошлых ценах уже учтена, и будущие изменения «условно независимы» от прошлых.

Формула ГБД выглядит так:

ΔS / S = μ Δt + σ ε √Δt,
где:
S — цена акции,
ΔS — изменение цены,
μ — ожидаемая доходность,
σ — стандартное отклонение доходности,
ε — случайная величина,
Δt — интервал времени.

Переформулируя, изменение цены равно произведению текущей цены на сумму «дрейфа» и «шока»:

ΔS = S × (μ Δt + σ ε √Δt).

Первый элемент — это «дрейф», отражающий среднее ожидаемое изменение, а второй — «шок», случайное отклонение, масштабируемое стандартным отклонением.

Иллюстрация этой концепции представлена на рисунке 1: цена акции эволюционирует в серии шагов, каждый из которых состоит из дрейфа и случайного шока.

2. Проведение случайных испытаний

После определения модели приступаем к генерации случайных траекторий. Для наглядности использована программа Microsoft Excel с 40 испытаниями — хотя на практике обычно выполняют тысячи или миллионы симуляций.

Предположим, что цена акции в начальный момент равна $10. На графике показаны результаты моделирования с дневным шагом в течение десяти дней для 40 траекторий.

По итогам моделирования ни одна цена не опустилась ниже $9, а одна превысила $11.

3. Анализ результатов

Симуляция предоставляет распределение гипотетических будущих значений. Например, для оценки VaR с уровнем доверия 95% нужно найти 38-й результат по ранжированию из 40 (то есть третий худший), так как 2 из 40 — это 5%.

Построив гистограмму с интервалами по $0,33 в диапазоне от $9 до $10, получаем распределение, представленное на рисунке ниже.

Модель ГБД предполагает нормальное распределение доходностей, однако уровни цен имеют логнормальное распределение — с резким спадом слева от среднего и длинным «хвостом» справа.

Это может вызвать путаницу у начинающих: доходности акций распределены нормально, а сами уровни цены — логнормально. Логика проста: цена не может стать отрицательной, а положительный рост имеет кумулятивный эффект, тогда как падение уменьшает базу для дальнейших потерь.

Ниже приведён график логнормального распределения, наложенный на наши предположения (стартовая цена $10).

Итог

Симуляция Монте-Карло — мощный инструмент, позволяющий моделировать множество возможных сценариев для финансовых инструментов, используя выбранную модель поведения. В случае с акциями наиболее распространена модель геометрического броуновского движения, предполагающая постоянный дрейф и случайные шоки. При этом доходности за период распределены нормально, а уровни цен — логнормально, что отражает реальные особенности рынка и позволяет более точно оценивать риски и принимать решения.

Ознакомьтесь с последними новостями и актуальными событиями в категории Навыки трейдинга на дату 01-10-2021. Статья под заголовком "Искусство прогнозирования: как использовать Монте-Карло и геометрическое броуновское движение" предоставляет наиболее релевантную и достоверную информацию в области Навыки трейдинга. Каждая новость тщательно проанализирована, чтобы дать ценную информацию нашим читателям.

Информация в статье " Искусство прогнозирования: как использовать Монте-Карло и геометрическое броуновское движение " поможет вам принимать более обоснованные решения в категории Навыки трейдинга. Наши новости регулярно обновляются и соответствуют журналистским стандартам.